Question

阅读下面所给材料：已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n-1+2，求数列的通项a_n．
解：令a_n=a_n-1=x，则有x=3x+2，所以x=-1，故原递推式a_n=3a_n-1+2可转化为：
a_n+1=3（a_n-1+1），因此数列{a_n+1}是首项为a₁+1，公比为3的等比数列．
根据上述材料所给出提示，解答下列问题：
已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n-1+4，
（1）求数列的通项a_n；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；
（2）若记S_n=

n

k=1

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

，求

lim

n→∞

S_n；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+1=100b_n³，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer 1

分析：（1）根据已知材料可令a_n=a_n-1=x，则有x=3x+4，可得x=-2，故原递推式a_n=3a_n-1+4可转化为：
a_n+2=3（a_n-1+2），因此数列{a_n+2}是等比数列可求a_n，对于a_n=3a_n-1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程．
（2）令d_k=

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

=（

1

lg3

）²（

1

k

-

1

k+1

）．利用裂项求和可得S_n=

n

k=1

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

=（

1

lg3

）²[1-

1

n+1

]，然后求极限．
（3）数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+i=100b_n³，所以b_n＞0，lgb_n+i=lg（100b_n³）
令c_n=lgb_n，则c_n+1=3c_n+2，从而可求c_n，进一步可求b_n

解答：解：（1）令a_n=a_n-1=x，则有x=3x+4，所以x=-2，故原递推式a_n=3a_n-1+4可转化为：
a_n+2=3（a_n-1+2），因此数列{a_n+2}是首项为a₁+2，公比为3的等比数列．
所以a_n+2=（a₁+2）×3^n-1，所以a_n=3ⁿ-2；
对于a_n=3a_n-1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程，
该点就是它与直线y=x的交点．
（2）令d_k=

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

=

1

lg3klg3k+1

=（

1

lg3

）²

1

k(k+1)

=（

1

lg3

）²（

1

k

-

1

k+1

）
S_n=

n

k=1

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

=d₁+d₂+…+d_n
=（

1

lg3

）²[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）++（

1

n

-

1

n+1

）]
=（

1

lg3

）²[1-

1

n+1

]

lim

n→∞

S_n=（

1

lg3

）²
（3）数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+i=100b_n³，所以b_n＞0，lgb_n+i=lg（100b_n³）
令c_n=lgb_n，则c_n+1=3c_n+2，
所以c_n+2=3（c_n-1+2），因此数列{c_n+2}是首项为c₁+2，公比为3的等比数列．
所以c_n+2=（c₁+2）×3^n-1，所以c_n=3ⁿ-2，
lgb_n=c_n=3ⁿ-2；b_n=103n-2

点评：本题以新定义为载体，主要考查了由形如a_n+1=pa_n+q型的数列的递推公式，利用构造等比数列的方法求数列的通项公式，关键是要灵活利用构造转化的方法，考查了裂项求和的方法求解数列的和，注意裂项相消后余留下的项是考生容易出现问题的地方．