Question

9．已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由直线系方程的逆用联立方程组求解直线l过定点；
（2）求出直线在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式可求解直线的斜率，代入直线方程即可得到答案．

解答 （1）证明：（1）由kx-y+1+2k=0，得k（x+2）-y+1=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{-y+1=0}\end{array}\right.$，得x=-2，y=1．所以直线l过定点（-2，1）；
（2）由kx-y+1+2k=0，取x=0，得y=2k+1，
取y=0，得x=-$\frac{1}{k}$-2．
所以，△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}×|2k+1|×|-\frac{1}{k}-2|$=4．
解得k=$\frac{1}{2}$．
所以直线l的方程为x-2y+4=0．

点评 本题考查了直线的一般方程，考查了直线系方程的逆用，训练了直线方程一般式和截距式的互化，是基础题．