Question

椭圆C₁的中心在原点，过点（0，），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²=的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若点P是椭圆上的动点，EF是圆C₂的任意一条直径，求的最大值．
（3）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；

Answer 1

解：（1）依题意得F₂（1，0），所以c=1，又过点（0，），
因此a²=b²+c²=4．
故所求的椭圆C₁的方程为：，
2）
=
=-，
∵∈[1，3]，∴的最大值为，
（3）由（1）知F₁（-1，0）以MN为直径的圆过F₁?，
①若直线l斜率不存在．易知N（1，），M（1，-）
=合题意，
若直线l斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂，
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k² （*）
由，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴，，代入（*），
得=，
由，得k=，
所以存在满足条件的直线，方程为：．
分析：（1）依题意得c=1，a²=b²+c²=4．由此可求出椭圆C₁的方程．
2）=-，由此可求出的最大值．
（3）由题意知F₁（-1，0）以MN为直径的圆过F₁?，设直线为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²，由，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由根与系数的关系进行求解．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，难度较大，解题时要注意挖掘隐含条件，认真审题，利用根与系数的关系，仔细解答．