Question

平面直角坐标系中，已知点A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是______．

Answer 1

四边形PABN的周长为
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1)2+(1+2)2

+

(4-1)2+(0+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

+1
=

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

+

13

+1，
只需求出

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

的最小值时的a值．
由于

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

=

(a-1)2+(0-3)2

+

(a-3)2+(0-1)2

，
表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．
利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，-3）与（3，1）间的距离，
且取得最小的a值为E（1，-3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，
∵直线EF的斜率k=

1+3

3-1

=2，∴直线EF方程为y+3=2（x-1），化简得y=2x-5，
令y=0，得x=

5

2

，所以此时a值为

5

2

由以上的讨论，得四边形PABN的周长最小时，P（

5

2

，1），N（

7

2

，1）
设过三点A、P、N的圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
可得

12+(-2)2+D-2E+F=0 ( 5 2 )2+12+ 5 2 D+E+F=0 ( 7 2 )2+12+ 7 2 D+E+F=0

，解之得D=-6，E=

9

4

，F=

11

2

∴过三点A、P、N的圆方程为x²+y²-6x+

9

4

y+

11

2

=0，可得圆坐标为（3，-

9

8

）
故答案为：（3，-

9

8

）