Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）是增函数．

Answer 1

（Ⅰ）解：由 得 x（1-x）＞0，解得 0＜x＜1，∴函数的定义域为 （0，1）．
（Ⅱ）证明：任取x₁、x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，则
=．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1-x₂＜1-x₁＜1，∴且 ，
即 ，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）是增函数．
分析：（Ⅰ）由 得 x（1-x）＞0，由此解得x的范围，即为函数的定义域．
（Ⅱ）证明：任取x₁、x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂）=＜0，从而可得f（x₁）＜f（x₂），从而得到函数f（x）是增函数．
点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，函数的单调性的定义和证明，属于基础题．