Question

在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8．现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．

　 （Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面CBD；

　 （Ⅱ）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的一个三角函数值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：菱形中，记交点为, ，     

翻折后变成三棱椎，在△中，

=

在△中，，

∴∠=90°，即⊥，又⊥，∩=，

∴⊥平面, ………………………4分

又平面,∴平面⊥平面．    

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知,,两两互相垂直，分别以,, 所在直线为坐标轴建系，则 (0,0,4)， (0,-3,0)， (4,0,0) ，(0,3,0)  ，(0,-,2)，

,，………………………………8分

设平面的一个法向量为，则由

 ， 得 ，…10分  令y=4，有 ……10分

设与平面所成角为θ,

∴与平面所成角的正弦值为，  …………………………………12分