Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BD、BB₁的中点．
（I）求证：EF∥平面A₁B₁CD；
（II）求证：EF⊥AD₁．

Answer 1

证明：（I）连接B₁D

∵E、F分别是BD、BB₁的中点，∴EF∥B₁D
∵B₁D?平面A₁B₁CD，EF?平面A₁B₁CD
∴EF∥平面A₁B₁CD；
（II）∵A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，
∴A₁B₁⊥AD₁，
∵A₁D⊥AD₁，A₁B₁∩A₁D=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁CD
∵EF?平面A₁B₁CD
∴EF⊥AD₁．
分析：（I）连接B₁D，利用E、F分别是BD、BB₁的中点，可得EF∥B₁D，从而可得EF∥平面A₁B₁CD；
（II）证明A₁B₁⊥AD₁，A₁D⊥AD₁，可得AD₁⊥平面A₁B₁CD，从而可得EF⊥AD₁．
点评：本题考查线面平行，考查线线垂直，解题的关键是掌握线面平行、线面垂直的判定方法，属于中档题．