Question

（理科）已知函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若存在x₀∈[0，1]使不等式f（x₀）-m≤0能成立，求实数m的最小值；
（2）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]时，m≥f（x）_min．
求导得f′（x）=2（1+x）-，定义域为（-1，+∞），
∵当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（-1，0）上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
∴f（x）_min=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．
（2）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．
设h（x）=（1+x）-2ln（1+x），则h′（x）=
由h′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）；由h′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴h（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．
∵h（　　）＞h（2），且h（x）在[0，2]上连续
∴方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根时，h（1）＜a≤h（2）
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3，
∴实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3）．
分析：（1）要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]时，m≥f（x）_min，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（-1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1
（2）原题设即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，就可以得出a的取值范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）-2ln（1+x）的值域，从而解出a的取值范围．