Question

【题目】如图所示的几何体是由棱台ABC﹣A1B1C1和棱锥D﹣AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．
（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；
（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC， ∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D，
∵AC平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BB1D；
（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则 ， ， ，
∴ ， ， ．
设平面A1BD的法向量 ，
由 ，取z= ，得 ，
设平面DCF的法向量 ，
由 ，取z= ，得 ．
设二面角A1﹣BD﹣C1为θ，
则 ．

【解析】（Ⅰ）由BB1⊥平面ABCD，得BB1⊥AC，再由ABCD是菱形，得BD⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BB1D，进一步得到平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面A1BD与平面DCF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．