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(本小题满分13分)

已知椭圆的两焦点在轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点的动直线交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以AB为直径的圆恒过点Q ?若存在求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。

 

【答案】

(Ⅰ).(Ⅱ)存在定点Q,则Q的坐标只可能为

【解析】

试题分析:(Ⅰ)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,

又斜边长为2,即 故,

椭圆方程为.                    ……………(4分)

(Ⅱ)当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为;

与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为

,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为(6分)

下证明为所求:

若直线斜率不存在,上述已经证明.设直线,

,

,       ……………………(8分)

……(10分)

 

,即以AB为直径的圆恒过点.      ………(13分)

注: 此题直接设,得到关于的恒成立问题也可求解.

考点:本题主要考查椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系。

点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。(II)小题中,运用平面向量的数量积,“化证为算”,达到证明目的。

 

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