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    （2008•奉贤区一模）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
    .
    x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
    ．如：A=
    .
    2\～(-1)(3)(-2)(1)
    ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
    （1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0）），试将m表示成x进制的简记形式．
    （2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
    1
    1-ak
    ，k∈N*    ，bn=
    .
    2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
    （n∈N*）．求证：bn=
    2
    7
    •8n-
    2
    7
    ．
    （3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
    .
    t\～(
    C
    1
    n
    )(
    C
    2
    n
    )(
    C
    3
    n
    )…(
    C
    n-1
    n
    )(
    C
    n
    n
    )
    ，求
    lim
    n→∞
    dn
    dn+1
    ．
    分析：（1）由m=（1-2x）（1+3x2）=1-2x+3x2-6x3，能将将m表示成x进制的简记形式．
    （2）a2=-1，a3=
    1
    2
    ，a4=2，a5=-1，a6=
    1
    2
    ，由an+1=
    1
    1-an
    ，知an+2=
    1
    1-an+1
    =
    1
    1-
    1
    1-an
    =
    1-an
    -an
    ，所以an+3=
    1
    1-an+2
    =
    1
    1+
    1-an
    an
    =an（n∈N*），由此能够证明bn=
    2
    7
    •8n-
    2
    7
    ．
    （3）dn=
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    t+
    C
    3
    n
    t2+
    C
    4
    n
    t3…+
    C
    n
    n
    tn-1=
    C
    1
    n
    t+
    C
    2
    n
    t2+
    C
    3
    n
    t3+…+
    C
    n
    n
    tn
    t
    =
    [
    C
    0
    n
    +
    C
    1
    n
    t+
    C
    2
    n
    t2+
    C
    3
    n
    t3+…+
    C
    n
    n
    tn]-1
    t
    =
    (1+t)n-1
    t
    ，由此能够求出
    lim
    n→∞
    dn
    dn+1
    =
    1
    1+t
    ，t＞0
    1，-1＜t＜0
    ．
    解答：解：（1）m=（1-2x）（1+3x2）=1-2x+3x2-6x3（2分）
    则m=
    .
    x\～(1)(-2)(3)(-6)
    （4分）
    （2）a2=-1，a3=
    1
    2
    ，a4=2，a5=-1，a6=
    1
    2
    ，
    ∵an+1=
    1
    1-an
    ∴an+2=
    1
    1-an+1
    =
    1
    1-
    1
    1-an
    =
    1-an
    -an

    ∴an+3=
    1
    1-an+2
    =
    1
    1+
    1-an
    an
    =an（n∈N*），知{an}是周期为3的数列     （6分）
    则bn=
    .
    2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

    =[2+(-1)×2+
    1
    2
    ×22]+[2×23+(-1)×24+
    1
    2
    ×25]    +…+[2×23n-3+(-1)×23n-2+
    1
    2
    ×23n-1]    =[2+(-1)×2+
    1
    2
    ×22]×(1+23+26+…+23n-3)    =2×
    1-8n
    1-8
    =
    2
    7
    ×8n-
    2
    7
    （10分）
    （3）dn=
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    t+
    C
    3
    n
    t2+
    C
    4
    n
    t3…+
    C
    n
    n
    tn-1=
    C
    1
    n
    t+
    C
    2
    n
    t2+
    C
    3
    n
    t3+…+
    C
    n
    n
    tn
    t
    =
    [
    C
    0
    n
    +
    C
    1
    n
    t+
    C
    2
    n
    t2+
    C
    3
    n
    t3+…+
    C
    n
    n
    tn]-1
    t
    =
    (1+t)n-1
    t
    （14分）
    所以
    lim
    n→∞
    dn
    dn+1
    =
    lim
    n→∞
    (1+t)n-1
    (1+t)n+1-1
    =
    1
    1+t
    |1+t＞1
    1|1+t＜1
    ，即
    lim
    n→∞
    dn
    dn+1
    =
    1
    1+t
    ，t＞0
    1，-1＜t＜0
    （18分）
    点评：本题考查数列的递推公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设的隐含条件，合理地进行等价转化．
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    2
    ∈D    均满足f(
    x+y
    2
    )≥
    1
    2
    [f(x)+f(y)]    ，当且仅当x=y时等号成立．
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    8π
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