Question

已知点R（-3，0），点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴上，点M在直线PQ上，且满足2

QM

+3

MP

=

0

，

PM

•

QM

=1．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C恒有公共点求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用直接法求点M的轨迹C的方程，先设出P点坐标，用P点坐标表示2

QM

+3

MP

=

0

，与

PM

•

QM

=1，再化简，就可得点M的轨迹C的方程．
（2）直线l方程与（1）中所求点M的轨迹C的方程联立，消y，得到关于x的一元二次方程，先找直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C有1个公共点时，m的值，结合图象，就可求出直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C恒有公共点时m的范围．

解答：解：（1）设M（x，y），由2

QM

 +3

MP

=

0

，得P（

x

3

，0），Q（0，-

y

2

）
由

PM

 •

QM

=1得（

x

3

，0）•（0，-

y

2

）=1，
即

x2

3 2

+

y2

2 3

=1，
由于点P在x轴的正半轴上，所以x＞0，
故点M的轨迹C的方程为

x2

3 2

+

y2

2 3

=1（x＞0）
（2）由

x2 3 2 + y2 2 3 =1 y=x+m

得13x²+18mx+（9m²-6）=0，
△=（18m）²-4×13（9m²-6）=0得  m²=

13

6

，m=±

78

6

，
因为

x2

3 2

+

y2

2 3

=1（x＞0）表示椭圆在y轴右边部分．

椭圆

x2

3 2

+

y2

2 3

=1的上顶点B（0，

6

3

），
所以数形结合得-

78

6

≤m＜

6

3

所以m的取值范围为[-

78

6

，

6

3

]．

点评：本题考查了直接法求曲线方程，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断．