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    （本题8分）

    设函数，，，…，，．

    （1）求，，，的表达式；

    （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

    解：（1），

    ，

    ，

    ，       …………………………………………2分

    （2）猜想：．          ………………3分

    证明：①当时，

    ∵左边；

    右边

    ∴左边=右边，∴等式成立；                           ………………4分

    ②假设时，等式成立，即，

    则当时

                      ……………………………5分

     

    ∴当时，等式也成立；                ……………………………7分

    由①、②可知，对任意都成立．…8分

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    设函数，数列满足。

    ⑴求数列的通项公式；

    ⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；

    ⑶是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由。

     

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