Question

8．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设∠AOB=α（0＜α＜π）．
（1）当α为何值时，四边形OACB面积最大，最大值为多少；
（2）当α为何值时，OC长最大，最大值为多少．

Answer 1

分析 （1）OA=2，B为半圆上任意一点，那么△OAB是直角三角形，AB²=5-4cosα．三角形S_△AOB=sinα，
三角形${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}A{B^2}=\frac{5}{4}\sqrt{3}-\sqrt{3}cosα$，两个三角之和，可得四边形OACB面积，利用三角函数的有界限，即可求解最大值．
（2）在△OAB中，利用正弦定理，把OC用三角函数关系式表示出来，利用三角函数的有界限，即可求解最大值．

解答 解：（1）由题意，在△OAB中，AB²=5-4cosα，
三角形S_△AOB=sinα，
三角形${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}A{B^2}=\frac{5}{4}\sqrt{3}-\sqrt{3}cosα$
四边形OABC的面积为$S={S_{△AOB}}+{S_{△ABC}}=2sin（α-\frac{π}{3}）+\frac{5}{4}\sqrt{3}$．
∵0＜α＜π，
∴当$α-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{5}{6}π$时，四边形OABC的面积最大，
故得当$α=\frac{5}{6}π$，四边形OABC的面积最大且最大值为$2+\frac{5}{4}\sqrt{3}$．
（2）△OAB中，$sin∠OAB=\frac{OBsin∠AOB}{AB}=\frac{sinα}{{\sqrt{5-4cosα}}}$
∴$cos∠OAB=\sqrt{1-{{sin}^2}∠OAB}=\frac{2-cosα}{{\sqrt{5-4cosα}}}$
∴$cos∠OAC=cos（∠OAB+{60°}）=\frac{{2-cosα-\sqrt{3}sinα}}{{2\sqrt{5-4cosα}}}$．
△OAC中，OC²=OA²+AC²-2OA•AC•cos∠OAC=$2\sqrt{3}sinα-2cosα+5$
即$OC=\sqrt{4sin（α-\frac{π}{6}）+5}（α∈（0，π））$
∵$α-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$α-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{2}{3}π$时，OC有最大值．
故得当$α=\frac{2}{3}π$时，OC有最大值3．

点评 本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．