Question

已知圆内一定点A（1，-2），P，Q为圆上的两不同动点．
（1）若P，Q两点关于过定点A的直线l对称，求直线l的方程；
（2）若圆O₂的圆心O₂与点A关于直线x+3y=0对称，圆O₂与圆O₁交于M，N两点，且，求圆O₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）将圆O₁的方程化为标准方程，找出O₁的坐标，由P，Q两点关于直线l对称，得到直线l过O₁，又直线l过A点，由两点的坐标写出直线l的方程即可；
（2）设O₂的坐标为（a，b），由O₂与点A关于直线x+3y=0对称，得到O₂与点A的中点在x+3y=0上，利用线段中点坐标公式表示出O₂与点A的中点坐标，代入x+3y=0中，得到关于a与b的方程，且直线O₂A与直线x+3y=0垂直，得到斜率的乘积为-1，由直线x+3y=0的斜率求出直线O₂A的斜率，由O₂与点A的坐标表示出斜率，列出关于a与b的方程，联立两方程求出a与b的值，确定出O₂的坐标，设圆O₂的半径为r，表示出圆O₂的方程，两圆的方程相减得到公共弦MN所在直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心O₂到直线MN的距离，即为弦心距，根据勾股定理由弦MN长的一半，圆的半径r及弦心距列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出圆O₂的方程．
解答：解：（1）将圆O₁的方程化为标准方程得：x²+（y+1）²=4，
∴O₁（0，-1），又P，Q两点关于过定点A的直线l对称，
∴O₁（0，-1）在直线l上，又直线l过A（1，-2），
∴直线l的方程为y+2=（x-1），即x+y+1=0；
（2）设O₂（a，b），
∵O₂与A关于直线x+3y=0对称，且x+3y=0的斜率为-，
∴=3①，且+3•=0②，
联立①②解得：a=2，b=1，∴O₂（2，1），
可设圆O₂的方程为：（x-2）²+（y+1）²=r²，
又圆O₁的方程为：x²+（y+1）²=4，
∴两圆方程相减，即得两圆公共弦MN所在直线的方程为4x+4y+r²-8=0，
∵|MN|=2，圆O₁的半径为2，
∴O₁到直线MN的距离为==，
解得：r²=20或r²=4，
则圆O₂的方程为：（x-2）²+（y+1）²=20或（x-2）²+（y+1）²=4．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：关于点、直线对称的直线方程，直线的两点式方程，线段中点坐标公式，两圆相交的性质，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，然后由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．