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(2011•南京模拟)A.选修4-1几何证明选讲
如图,△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.
求证:ED2=EB•EC.
B.矩阵与变换
已知矩阵A=
2-1
-43
4-1
-31
,求满足AX=B的二阶矩阵X.
C.选修4-4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+
π
3
),它们相交于A,B两点,求线段AB的长.
D.选修4-5 不等式证明选讲设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
分析:A、由切割线定理可得 EA2=EB•EC,证明∠EAD=∠EDA,△EAD为等腰三角形,得EA=ED,从而ED2=EB•EC 成立.
B、设 X=
ab
cd
,求出AX,再由AX=B,解方程组求得a、b、c、d的值,接口求得X.
C、把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,她们都表示圆,求出它们的圆心和半径,由弦长公式求出弦长AB的值.
D、利用基本不等式证明要证的不等式,注意检验等号成立的条件.
解答:解:A 由切割线定理可得 EA2=EB•EC.
再由同弧所对的圆周角等于该弧所对的弦切角可得∠ABC=∠CAE.
又AD是∠BAC的平分线,故有∠BAD=∠CAD.
再由∠EAD=∠EAC+∠CAD,∠EDA=∠BAD+∠ABC 可得∠EAD=∠EDA.
故△EAD为等腰三角形,故有EA=ED,
∴ED2=EB•EC.
B 设 X=
ab
cd
,则AX=
2-1
-43
ab
cd
]=
2a-c2b-d
-4a+3c-4b+3d

又AX=B=[
4-1
-31
],∴
2a-c=4
2b-d=-1
-4a+3c=-3
-4b+3d=1
,解得
a=
9
2
b=-1
c=5
d=-1

故X=
4.5-1
5-1

C 曲线ρ=1与  即 x2+y2=1,表示以O(0,0)为圆心,以1为半径的圆.
曲线ρ=2cos(θ+
π
3
),即 ρ2=2ρ(
1
2
cosθ
-
3
2
sinθ
 ),即(x-
1
2
)
2
+(y+
3
2
)
2
=1,
表示以A(
1
2
,-
3
2
)为圆心,以1为半径的圆.
把两圆的方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为 x-
3
y-1=0,
O到弦的距离等于
|0-0-1|
1+3
=
1
2
,由弦长公式求得线段AB的长为2
1-
1
4
=
3

D 证明:因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3≥3
3a3b3c3
=3abc>0,当且仅当a=b=c时,等号成立.
又3abc+
1
abc
≥2
3
,当且仅当 3abc=
1
abc
时,等号成立.
所以,a3+b3+c3+
1
abc
≥2 
3
点评:本题主要考查基本不等式的应用,与圆有关的比例线段,矩阵运算以及极坐标化为直角坐标的方法,直线和圆的位置关系的应用,属于中档题.
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②若b?α,b∥c,则c∥α;
③若c∥α,α⊥β,则c⊥β; 
④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.
其中正确的命题是
.(写出所有正确命题的序号)

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10
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对一切则xR恒成立,则:①;②;③

 

既不是奇函数也不是偶函数;④的单调递增区间是;⑤存

 

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