Question

已知椭圆C:=1(a＞b＞0),F₁,F₂为其左、右两焦点，A为右顶点，l为左准线，a²-b²=c².过F₁的直线e′:x=my-c与椭圆相交于P、Q两点，且有=(a+c)².

(1)求椭圆C的离心率e的最小值；

(2)若e∈(,)，求m的范围；

(3)若AP∩l=M,AQ∩l=N，求证：M、N两点的纵坐标之积为定值.

Answer 1

解：(1)联立方程消去x得(a²+b²m²)y²-2b²cmy-b⁴=0.设P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),则有y₁+y₂=,y₁y₂=.

∴x₁+x₂=m(y₁+y₂)-2c=，

x₁x₂=(my₁-c)(my₂-c)=m²y₁y₂-mc(y₁+y₂)+c²=，

(x₁-a)(x₂-a)=x₁x₂-a(x₁+x₂)+a²=.

又A(a，0)，

∴=(x₁-a,y₁)，=(x₂-a,y₂),

∴·=(x₁-a)(x₂-a)+y₁y₂=(a+c)²，

即(a+c)².化简得，

即有m²=.                                                    

由m²≥0，可得到a²-2(a-c)²≥0,

即a≥(a-c),

∴≥1，故离心率e的最小值为1.                                 

(2)m²==.

易知m²是关于e的增函数.

∴当e∈()时,有2＜m²＜2,即＜m²＜.

∴m的范围为()∪().                                    

(3)AP的方程为y=(x-a)与l的方程：x=联立可得M的纵坐标为y_m=( -a).同理可得y_n=.

∴y_M·y_N=(-a)²·(定值).