Question

（2012•浦东新区二模）若双曲线C₁：

x2

a 2 1

-

y2

b 2 1

=1（a₁＞0，b₁＞0）和双曲线C₂：

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1（a₂＞0，b₂＞0）的焦点相同，且a₁＞a₂．给出下列四个结论：①

a

2 1

-

a

2 2

=

b

2 2

-

b

2 1

；②

a1

a2

＞

b2

b1

；③b₁＜b₂；④a₁+a₂＞b₁+b₂；其中所有正确的结论序号是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①④

Answer 1

分析：先利用焦距相同，证明①正确，进而结合a₁＞a₂证明③正确，最后利用举反例的方法说明②④错误即可

解答：解：∵两曲线的焦点相同，故焦距相同，∴

a

2 1

+

b

2 1

=

a

2 2

+b

2 2

，即

a

2 1

-

a

2 2

=

b

2 2

-

b

2 1

，故①正确；
∵a₁＞a₂＞0，∴

a

2 1

-

a

2 2

=

b

2 2

-

b

2 1

＞0，∴

b

2 2

＞

b

2 1

，即b₁＜b₂；③正确
若a₁=

3

，a₂=

2

，b₁=1，b₂=

2

，则

a1

a2

＜

b2

b1

，故②错误；
∵

a

2 1

-

a

2 2

=

b

2 2

-

b

2 1

，∴（a₁+a₂）（a₁-a₂）=（b₁+b₂）（b₂-b₁），
∵a₁＞a₂且b₁＜b₂，∴

a1+a2

b1+b2

=

b2-b1

a1-a2

，
若a₁=2，a₂=1，b₁=1，b₂=2，则a₁+a₂=b₁+b₂；故④错误
故选B

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的标准方程、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．