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本题满分15分)如图, 在矩形中,点分别

在线段上,.沿直线

翻折成,使平面. 

(Ⅰ)求二面角的余弦值;

(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四

边形向上翻折,使重合,求线段

的长。

 

【答案】

【解析】(Ⅰ)解:取线段EF的中点H,连结,因为=及H是EF的中点,所以,

又因为平面平面.

如图建立空间直角坐标系A-xyz

(2,2,),C(10,8,0),

F(4,0,0),D(10,0,0).   

=(-2,2,2),=(6,0,0).

=(x,y,z)为平面的一个法向量,

       -2x+2y+2z=0

所以

       6x=0.

 

,则

又平面的一个法向量

所以二面角的余弦值为

(Ⅱ)解:设

     因为翻折后,重合,所以

     故, ,得

     经检验,此时点在线段上,

所以

方法二:

(Ⅰ)解:取线段的中点,的中点,连结

      因为=的中点,

所以

又因为平面平面

所以平面,

平面,

又因为的中点,

易知

所以

于是

所以为二面角的平面角,

中,==2,=

所以.

故二面角的余弦值为

(Ⅱ)解:设,

         因为翻折后,重合,

所以

          而

 

经检验,此时点在线段上,

所以

 

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重合,求线段FM的长.

 

 

 

 

 

 

 

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