设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,c-1c)处的切线l与x轴y轴所围成的三角表面积为S(t).
(Ⅰ)求切线l的方程;
(Ⅱ)求S(t)的最大值.
分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义即为点的斜率,对函数y=e-x(x≥0)在点M(t,c-1c)进行求导,然后根据电斜式求出切线方程;
(Ⅱ)根据三角形面积公式用t表示出S(t),然后由题意先对函数S进行求导,解出极值点,然后再根据函数的定义域,
把极值点代入已知函数,从而求解.
解答:解:(Ⅰ)因为f'(x)=(e
-x)'=-e
-x,
所以切线l的斜率为-e
-1,
故切线l的方程为y-e
-t=-e
-t(x-t).
即e
-tx+y-e
-1(t+1)=0
(Ⅱ)令y=0得x=t+1,
又令x=0得y=e
-t(t+1)
所以S(t)=
(t+1)•e-1(t+1)=
(t+1)2e-1从而
S′(t)=e-1(1-t)(1+t).∵当t∈(0,1)时,S'(t)>0,
当t∈(1,+∞)时,S'(t)<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=
.
点评:此题主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值,利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,解题的关键是求导要精确.