Question

半径为

5

2

的圆C的圆心C在射线y=-2x（x≤0）上，且截y轴所得的弦长为1．
（1）求圆C的方程．
（2）设P为圆C上一动点，O为坐标原点，求△PCO的重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意，假设圆心的坐标，利用点线距离，垂径定理及勾股定理，求弦长，故可求圆C的方程；
（2）设G（x，y），P（x₀，y₀），由重心坐标公式有：

x= -1+x0 3 y= 2+y0 3

⇒

x0=3x+1 y0=3y-2

，利用点P在圆C上，可得方程．

解答：解：（1）因圆心C在射线y=-2x（x≤0）上，故设圆心为C（a，-2a）（a≤0），又该圆截y轴所得的弦长为1，
故由垂径定理及勾股定理知，圆心到y轴的距离为

( 5 2 )2-( 1 2 )2

=1，
即|a|=1，所以a=-1，从而圆C的方程为(x+1)2+(y-2)2=

5

4

．
（2）设G（x，y），P（x₀，y₀），由重心坐标公式有：

x= -1+x0 3 y= 2+y0 3

⇒

x0=3x+1 y0=3y-2

，又点P在圆C上，
故(x0+1)2+(y0-2)2=

5

4

，
所以有(3x+2)2+(3y-4)2=

5

4

．
又P、C、O为三角形的三顶点，
故点P在不直线y=-2x上，从而点G也不在直线y=-2x上，由

y=-2x (3x+2)2+(3y-4)2= 5 4

，解得

x=- 1 2 y=1

或

x=- 5 6 y= 5 3

所以△PCO的重心G的轨迹方程为(3x+2)2+(3y-4)2=

5

4

（去除(-

1

2

，1)和(-

5

6

，

5

3

)两点）．

点评：本题的考点是圆的方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，关键是寻找动点坐标之间的关系．