Question

(18)已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.

(I) 证明平面;

(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.

Answer 1

本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.

（Ⅰ）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点.

∴EB∥FD.且EB=FD.

∴四边形EBFD是平行四边形.

∴BF∥ED.

∵ED平面AED.而BF平面AED.  

∴BF∥平面AED                 

（Ⅱ）解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过点A作AG⊥平面BCDE.垂足为G，连结GC、GD.

∵△ACD为正三角形.

∴AC=AD.

∴GC=GD.

∴G在CD的垂直平分线上.

又∵EF是CD的垂直平分线.

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥ED.垂足为H，连结AH，则AH⊥DE.                         

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF.

在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a.

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=

∴GH=

∴cosθ=

解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF.垂足为G′.

∵△ACD为正三角形，F为CD的中点.

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD.

∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF.

∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE.

∴AG′⊥平面BCDE.

∴G′为A在平面BCDE内的射影G.

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中，AF=EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF,

∴AG=

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=

∴GH=

∴cosθ=

解法三：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

连结AF，在平面AEF内过点A作AG′⊥EF，垂足为G′，

∵△ACD为正三角形，F为CD中点，

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD，

∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE.

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF，AG′⊥EF，

∴AG′⊥平面BCDE，即G′为A在平面BCDE内的射影G，

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥DE，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中，AF=EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=

∴GH=

∴cosθ=