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    为了在夏季降温和冬天供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用10年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为2万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
    kx+10
    (0≤x≤20)    ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和．求k的值及f（x）的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
    分析：（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
    k
    x+10
    (0≤x≤20)    ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=80，进而得到 C(x)=
    80
    x+10
    ．建造费用为C1（x）=2x，则根据隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
    （2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
    解答：解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为 C（x）=
    k
    x+10
    (0≤x≤20)    ．
    再由C（0）=8，得k=80，
    因此 C(x)=
    80
    x+10
    ．
    而建造费用为C1（x）=2x，
    最后得隔热层建造费用与10年的能源消耗费用之和为
    f(x)=10C(x)+C1(x)=10×
    80
    x+10
    +2x=
    800
    x+10
    +2x(0≤x≤20)
    （Ⅱ） f′(x)=2-
    800
    (x+10)2
    ，令f′（x）=0，即
    800
    (x+10)2
    =2    ．
    解得x=10，x=-30（舍去）．
    当0＜x＜10时，f′（x）＜0，当10＜x＜20时，f′（x）＞0，故x=10是f（x）的最小值点，对应的最小值为60．
    当隔热层修建10cm厚时，总费用达到最小值为60万元．
    点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：2010年高考试题（湖北卷）解析版（理） 题型：解答题

     

        为了在夏季降温和冬天了供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

       （I）求k的值及的表达式；

       （II）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.

     

     

     

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