Question

如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为直角梯形ABCD中，AC=2

2

，CD=2

2

，
所以AC²+CD²=AD²，即AC⊥CD，
又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；…（4分）
（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，
又EC?平面ACE，FG?平面ACE，所以FG∥平面ACE，
因为BC∥AD，所以

BO

OD

=

GE

ED

，则OE∥BG，
又OE?平面ACE，BG?平面ACE，所以BG∥平面ACE，
又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，
因为BF?平面BFG，所以BF∥平面ACE．…（10分）
解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，
连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，
在△DFG中，HE∥FG，则

GE

ED

=

FH

HD

=

1

2

，
在底面ABCD中，BC∥AD，所以

BO

OD

=

BC

AD

=

1

2

，
所以

FH

HD

=

BO

OD

=

1

2

，故BF∥OH，又OH?平面ACE，BF?平面ACE，
所以BF∥平面ACE．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，
在Rt△PCD中，CD=2

2

，PD=

PA2+AD2

=2

5

，
所以sin∠DPC=

CD

PD

=

2 2

2 5

=

10

5

，
所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为

10

5

．…（14分）