Question

已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且|AB|=

4 5

5

，动点P满足2

OP

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆

x2

4

+y2=1交于M、N两点，求证：

OM

•

ON

为定值．

Answer 1

分析：（1）（方法一）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．由2

OP

=

OA

+

OB

，知P是线段AB的中点，由此能得到点P的轨迹C的方程．
（方法二）由2

OP

=

OA

+

OB

，知P为线段AB的中点，由M、N分别在直线y=x和y=-x上，知∠AOB=90°．由此能得到点P的轨迹C的方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，由l与C相切，知

|m|

1+k2

=

2 5

5

，m2=

4

5

(1+k2)．联立

y=kx+m x2+4y2=4

，故

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0 (1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

．由此能够证明

OM

•

ON

为定值0．

解答：解：（1）（方法一）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．
∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P是线段AB的中点，∴

x= x1+x2 2 y= x1-x2 2 .

（2分）
∵|AB|=

4 5

5

，∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=

16

5

，∴(2y)2+(2x)2=

16

5

．
∴化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=

4

5

．（5分）
（方法二）∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P为线段AB的中点、（2分）
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又|AB|=

4 5

5

，∴|OP|=

2 5

5

，∴点P在以原点为圆心，

2 5

5

为半径的圆上、
∴点P的轨迹C的方程为x2+y2=

4

5

．（5分）
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
∵l与C相切，∴

|m|

1+k2

=

2 5

5

，∴m2=

4

5

(1+k2)．
联立

y=kx+m x2+4y2=4

，∴

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0 (1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁•x₂=

4m2-4

1+4k2

，y1y2=

m2-4k2

1+4k2

．（8分）
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

5m2-4k2-4

1+4k2

．
又m2=

4

5

(1+k2)，∴

OM

•

ON

=0．（10分）
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±

2 5

5

，代入椭圆方程得
M（

2 5

5

，

2 5

5

），N（

2 5

5

，-

2 5

5

）或M（-

2 5

5

，

2 5

5

），N（-

2 5

5

，-

2 5

5

），
此时，

OM

•

ON

=

4

5

-

4

5

=0．
综上所述，

OM

•

ON

为定值0．（12分）

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识．