Question

如图，AC为圆O的直径，AP⊥圆O，PA=AB=BC．
（1）证明：面PAB⊥面PBC；
（2）若M、N分别为线段PB、PC的中点，试求直线PC与平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）由题意，PA⊥面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB
又BC?面PBC，
∴面PAB⊥面PBC
（2）∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB
∴BC⊥PB，又MN∥BC，∴MN⊥PB
在Rt△PAB中，PA=AB，M为中点，
∴AM⊥PB
∴AM∩MN=M，∴PB⊥面AMN
∴∠PNM即为所求角或其补角
设PA=2，则PB=2，PM=，AC=2，PC=2，PN=
∴sin∠PNM==，即所求角的正弦值为
分析：（1）先利用线面垂直的判定定理证明直线BC⊥面PAB，再利用面面垂直的判定定理证明面PAB⊥面PBC，（2）先利用线面垂直的判定定理证明PB⊥面AMN，再利用线面所成的角的定义找到线面角的平面角，最后在直角三角形中计算此角即可
点评：本题综合考查了线面垂直和面面垂直的判定定理，空间直线与平面所成的角的作法、证法、求法，转化化归的思想方法