Question

13、将一个4×4棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则不同的染法种数有

90

．（用数字作答）

Answer 1

分析：第一行染2个黑格，第一行染好后，有三种情况：第二行染的黑格均与第一行的黑格同列；第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列；第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，写出结果．

解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，
第一行染2个黑格有C₄²种染法．第一行染好后，有如下三种情况：
（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有C₄²种染法，
第四行的染法随之确定；
（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，
而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，
这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定．
∴共有染法为6×（1+6+4×2）=90种．
故答案为：90

点评：本题考查分类计数原理，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，再根据分类原理得到结果．本题是一个典型的排列组合的实际应用．