Question

（2012•山东）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，与双曲线x²-y²=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为（　　）

• A．

  x2

  8

  +

  y2

  2

  =1
• B．

  x2

  12

  +

  y2

  6

  =1
• C．

  x2

  16

  +

  y2

  4

  =1
• D．

  x2

  20

  +

  y2

  5

  =1

Answer 1

分析：由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1．利用e=

3

2

，即可求得椭圆方程．

解答：解：由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上
∴

4

a2

+

4

b2

=1
∵e=

3

2

∴

a2-b2

a2

=

3

4

∴a²=4b²
∴a²=20，b²=5
∴椭圆方程为：

x2

20

+

y2

5

=1
故选D．

点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．