Question

【题目】已知函数f（x）=2x+sinx，且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时， 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=2x+sinx（x∈R），
∴f（﹣x）=﹣2x﹣sinx=﹣（2x+sinx）=﹣f（x），
即f（x）=2x+sinx（x∈R）是奇函数，
∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，
∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，
由f'（x）=1﹣cosx≥0，
∴函数单调递增．
∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），
即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，
∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，
∵y≥1，
∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．
的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．
设k= ，（k＞0）
则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．
当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d= =1，
即8k2﹣6k=0，解得k= ．此时直线斜率最大．
当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，
此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=
∴ ≤k≤ ，
故选：A．

【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．