Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，点D是BC的中点．
（I）求证：A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求证：△AB₁D为直角三角形；
（Ⅲ）若三棱锥B₁-ACD的体积为

3

3

，求棱BB₁的长．

Answer 1

分析：（I）根据正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的几何特征，可得A₁C₁∥AC，进而由线面平行的判定定理得到A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）根据正三角形三线合一及面面垂直的性质定理，可得AD⊥侧面BC₁，进而由线面垂直的定义可得AD⊥B₁D，即：△AB₁D为直角三角形；
（Ⅲ）设棱BB₁的长为X，由三棱锥B₁-ACD，即三棱锥A-B₁CD的体积为

3

3

，构造方程可得棱BB₁的长．

解答：证明：（I）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁∥AC
又∵A₁C₁?平面AB₁C，AC?平面AB₁C；
∴A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形
∴AD⊥BC，
又∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥侧面BC₁，
∴AD⊥侧面BC₁，
又∵B₁D?侧面BC₁，
∴AD⊥B₁D
即：△AB₁D为直角三角形；
解：（Ⅲ）设棱BB₁的长为X
则正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中所有棱长全为X
则S△B1CD=

1

4

X2，AD=

3

2

X
则三棱锥B₁-ACD的体积V=

1

3

•S△B1CD•AD=

3

24

X3=

3

3

，
解得X=2
即棱BB₁的长为2

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间直线与平面位置关系的几何特征，判定定理及性质是解答的关键．