Question

已知函数f（x）=5-2|x|，g（x）=x²-2x，构造函数F（x），定义如下：当f（x）≥g（x）时，F（x）=g（x）；当f（x）＜g（x）时，F（x）=f（x），那么F（x） 的最大值为

 

．

Answer 1

分析：根据F（x）的定义求出函数F（x）的表达式，利用数形结合即可求出函数的最值．

解答：解：由f（x）=g（x）得5-2|x|=x²-2x，
若x≥0时，5-2|x|=x²-2x等价为5-2x=x²-2x，
即x²=5，解得x=

5

．
若x＜0时，5-2|x|=x²-2x等价为5+2x=x²-2x，
即x²-4x-5=0，
解得x=-1或x=5（舍去）．
即当x≤-1时，F（x）=f（x）=5+2x，
当-1＜x＜

5

时，F（x）=g（x）=x²-2x，
当x≥

5

时，F（x）=f（x）=5-2x，
则由图象可知当x=-1时，F（x）取得最大值值F（-1）=f（-1）=5-2=3．
故答案为：3．

点评：本题主要考查函数最值的求法，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．