Question

下列命题中的真命题为    ．
（1）复平面中满足|z-2|-|z+2|=1的复数z的轨迹是双曲线；
（2）当a在实数集R中变化时，复数z=a²+ai在复平面中的轨迹是一条抛物线；
（3）已知函数y=f（x），x∈R⁺和数列a_n=f（n），n∈N，则“数列a_n=f（n），n∈N递增”是“函数y=f（x），x∈R⁺递增”的必要非充分条件；
（4）在平面直角坐标系xoy中，将方程g（x，y）=0对应曲线按向量（1，2）平移，得到的新曲线的方程为g（x-1，y-2）=0；
（5）设平面直角坐标系xoy中方程F（x，y）=0表椭圆示一个，则总存在实常数p、q，使得方程F（px，qy）=0表示一个圆．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据双曲线的定义可得：复数z的轨迹是双曲线的一支．
（2）由题意可得：x=a²，y=a，所以消去参数a可得：y²=x，所以次曲线是一条抛物线．
（3）根据两个函数的定义域之间的关系可得答案．
（4）由“按向量（1，2）平移”与口诀“左加右减，上加下减”之间的关系可得答案．
（5）根据椭圆的方程与圆的方程之间的关系可得（5）正确．
解答：解：（1）根据双曲线的定义可得：满足|z-2|-|z+2|=1的复数z的轨迹是双曲线的一支，所以（1）错误．
（2）由复数z=a²+ai可得：x=a²，y=a，所以消去参数a可得：y²=x，所以次曲线是一条抛物线，所以（2）正确．
（3）因为N?R⁺，并且函数a_n=f（n）的定义域为n∈N，函数y=f（x）的定义域为x∈R⁺，所以“函数y=f（x），x∈R⁺递增”⇒“数列a_n=f（n），n∈N递增”，但是反之则不成立，所以（3）正确．
（4）按向量（1，2）平移，即为图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所以得到的新曲线的方程为g（x-1，y-2）=0，所以（4）正确．
（5）根据椭圆的方程与圆的方程之间的关系可得（5）正确．
故答案为：（2）（3）（4）（5）．
点评：本题主要考查双曲线的定义、椭圆与圆的方程之间的关系，以及函数图象“按向量平移”与口诀“左加右减，上加下减”之间的关系等知识点，此题属于基础题．