Question

17．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{n}，n为偶数}\\{{a}_{n}+1，n为奇数}\end{array}\right.$，若b_n=a_2n-1-1．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用递推关系、等比数列的定义即可得出．
（Ⅱ）利用分组求和、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）证明：${b_{n+1}}={a_{2n+1}}-1=\frac{1}{2}{a_{2n}}-1$=$\frac{1}{2}（{a_{2n-1}}+1）-1$=$\frac{1}{2}（{a_{2n-1}}-1）=\frac{1}{2}{b_n}$，
故{b_n} 为等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=（{a_1}-1）•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，∴${a_{2n-1}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+1$，
又a_2n=a_2n-1+1，∴${a_{2n-1}}+{a_{2n}}=\frac{1}{{{2^{n-2}}}}+3$，
∴${S_{2n}}=3n+\frac{{2（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=3n+4-\frac{1}{{{2^{n-2}}}}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的定义与求和公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．