Question

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点在抛物线y=2x²上,l是AB的垂直平分线.

(1)当且仅当x₁+x₂取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.

(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.

Answer 1

l在y轴上截距的取值范围是(,+∞).

解析:

(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线准线的距离相等y₁=y₂x₁²=x₂²(x₁+x₂)

(x₁-x₂)=0,由A、B为两点,∴x₁≠x₂x₁+x₂=0.

故x₁+x₂=0时,直线l经过焦点F.

(2)设l:y=2x+b,

∵l⊥AB,

设AB：y=-x+m,联立y=2x²,

∴2x²+x-m=0,

设AB中点N(x₀,y₀),

则

由点N∈l,∴+m=-+b,

b=+m>-=.

∴l在y轴上截距的取值范围是(,+∞).