Question

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为6

3

平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小．
（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？
（2）如防洪堤的高限制在[ 3 ， 2

3

 ]的范围内，外周长最小为多少米？

Answer 1

分析：（1）利用梯形的面积公式将梯形的上底、下底用h表示；将梯形周长用h表示；利用基本不等式求出周长的最小值．
（2）利用函数单调性的定义判断出函数的单调性；利用函数的单调性求出周长的最小值．

解答：解：（1）6

3

=

1

2

(AD+BC)h，AD=BC+2×hcot60°=BC+

2 3

3

h，6

3

=

1

2

(2BC+

2 3

3

h)h，解得BC=

6 3

h

-

3

3

h．
设外周长为l，则l=2AB+BC=

2h

sin60°

+

6 3

h

-

3

3

h=

3

h+

6 3

h

≥6

2

；
当

3

h=

6 3

h

，即h=

6

时等号成立．外周长的最小值为6

2

米，此时堤高h为

6

米．
（2）

3

h+

6 3

h

=

3

(h+

6

h

)，设3≤h1＜h2≤2

3

，
则h2+

6

h2

-h1-

6

h1

=(h2-h1)(1-

6

h1h2

)＞0，l是h的增函数，
∴lmin=

3

×3+

6 3

3

=5

3

（米）．（当h=3时取得最小值）．

点评：将实际问题转化为函数模型、利用基本不等式求函数的最值注意需满足：一正、二定、三相等；
利用函数单调性的定义判断函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值．