Question

已知函数，。
（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程；
（Ⅲ）设n∈N*，证明：f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥。

Answer 1

解：（Ⅰ）
∴
令，得x=2（x=-2舍去）
当时，，当时，F（x）为减函数。
x=2为F（x）的极大值点，且。
（Ⅱ）原方程可化为
即为，且
①当时，，则，即
，此时
∵
此时方程仅有一解
②当时，，由得，
若，则，方程有两解；
当时，则，方程有一解；
当或，原方程无解。
（Ⅲ）由已知得

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N*）
从而有，当时，
又

即对任意的时，有
又因为
所以
则
故原不等式成立。