Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10。

（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（2）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离。

Answer 1

解：（1）如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3） 由题意，得G（0，4，0） 因为 所以平面BOF的法向量n=（0，3，4） 由 得 又直线FG不在平面BOE内， 所以FG∥平面BOE；
（2）设点M的坐标为（x0，y0，0） 则 因为FM⊥平面BOE， 所以 因此 即点M的坐标是 在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组 经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE 由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，。