Question

定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2.

(1)求f(0)的值；

(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)>0；

(3)解不等式f(3－x²)>4.

Answer 1

 [解析]　(1)解：对任意x，y∈R，

f(x＋y)＝f(x)·f(y)．

令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，

即f(0)·[f(0)－1]＝0.

令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x∈R成立，

所以f(0)≠0，因此f(0)＝1.

(2)证明：对任意x∈R，

有f(x)＝f(＋)＝f()·f()＝[f()]²≥0.

假设存在x₀∈R，使f(x₀)＝0，

则对任意x>0，有

f(x)＝f[(x－x₀)＋x₀]＝f(x－x₀)·f(x₀)＝0.

这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．

所以，对任意x∈R，均有f(x)>0成立．

(3)解：令x＝y＝1有

f(1＋1)＝f(1)·f(1)，

所以f(2)＝2×2＝4.

任取x₁，x₂∈R，且x₁<x₂，

则f(x₂)－f(x₁)

＝f[(x₂－x₁)＋x₁]－f(x₁)

＝f(x₂－x₁)·f(x₁)－f(x₁)

＝f(x₁)·[f(x₂－x₁)－1]．

∵x₁<x₂，∴x₂－x₁>0，

由已知f(x₂－x₁)>1，

∴f(x₂－x₁)－1>0.

由(2)知x₁∈R，f(x₁)>0.

所以f(x₂)－f(x₁)>0，

即f(x₁)<f(x₂)．

故函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

由f(3－x²)>4，得f(3－x²)>f(2)，

即3－x²>2.

解得－1<x<1.

所以，不等式的解集是(－1,1)．