Question

18．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x{e^x}+\frac{1}{e}，x≤0}\\{{x^2}-2x，x＞0}\end{array}}\right.$，若函数y=f（f（x）-a）有四个零点，则实数a的所有可能取值构成的集合是（1，1+$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 先运用导数求得函数单调区间，并作出图象，再根据图象列出函数有4个零点所需的条件．

解答 解：知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x{e^x}+\frac{1}{e}，x≤0}\\{{x^2}-2x，x＞0}\end{array}}\right.$，函数性质分段讨论如下：
①当x＞0时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，最小值为-1，
②当x≤0时，令f'（x）=（x+1）e^x=0，解得x=-1，
 所以，x∈（-∞，-1）函数递减，（-1，0）函数递增，
 且f（0）=$\frac{1}{e}$，x→-∞时，f（x）→$\frac{1}{e}$，
综合以上分析，作出函数图象，如右图．
由图可知，函数y=f（x）有两个零点，x=-1和x=2，----（*）
再考察函数y=f[f（x）-a]的零点，
由（*）可知，f（x）-a=-1或f（x）-a=2，
即f（x）=a-1或f（x）=a+2，根据题意，这两个方程共有四个根，
结合函数图象，a-1∈（0，$\frac{1}{e}$），解得，a∈（1，1+$\frac{1}{e}$），
故填：（1，1+$\frac{1}{e}$）．

点评 本题主要考查了函数零点的判定，以及函数的图象和性质，并运用导数确定函数的单调区间，结合函数图象得出零点个数，具有一定的综合性，属于难题．