Question

已知tan（α+

π

4

）=-3，α∈（0，

π

2

）．
（1）求tanα的值；
（2）求sin（2α-

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出tanα的值；
（2）由α的范围，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinα的值，然后利用二倍角的正弦、余弦函数公式分别求出sin2α和cos2α的值，然后把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）由tan（α+

π

4

）=-3可得

tanα+1

1-tanα

=-3．
解得tanα=2．
（2）由tanα=2，α∈（0，

π

2

），可得sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

．
因此sin2α=2sinαcosα=

4

5

，cos2α=1-2sin²α=-

3

5

，
则sin（2α-

π

3

）=sin2αcos

π

3

-cos2αsin

π

3

=

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

．

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正切、正弦函数公式化简求值，是一道综合题．做题时应注意角度的范围．