Question

定义在R上的函数f（x）的图象关于点或中心对称，对任意的实数x均有且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为 ________．

Answer 1

解：由f（x+）=-f（x），得f（x+3）=f[（x+）+]=-f（x+）=f（x），则有周期T=3．
又∵f（x）的图象关于点成中心对称，即f（+x）=-f（-x），
令x=代入上式，得f（-）=-f（-1），即f（1）=f（-+）=-f（-）=f（-1）=1，
∵f（-1）=1，f（0）=-2，函数的周期是3，
∴f（1+3k）=f（-2）=1，f（2+3k）=f（-1）=1，f（3+3k）=f（0）=-2，其中k是任意整数．
则f（1）+f（2）+…+f（2009）=[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2008）+f（2009）
=669×（1+1-2）+f（1）+f（2）=2．
故答案为：2．
分析：根据题意需要反复给x恰当的值代入，求出函数的周期，再由函数图象关于点成中心对称，得到关系式f（+x）=-f（-x），利用条件和给x恰当的值求出函数在一个周期上的函数值，故求出一个周期内的函数值的和，根据函数的周期求式子的值．
点评：本题是一道抽象函数问题，题目的设计“小而巧”，解题的关键是巧妙的赋值，利用其奇偶性得到函数的周期性，再利用周期性求函数值．灵活的“赋值法”和反复利用恒等式是解决抽象函数问题的基本方法．