Question

已知函数f（x）=cos2x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（

α

2

+

π

8

）=

5

2

，f（

β

2

+π）=

2

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出函数f（x）的最大值，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）由（1）化简的f（x）解析式及已知的第一个等式，得到sinα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，再由已知的第二个等式，求出β的度数，代入所求式子中利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵f（x）=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴f（x）的最大值为

2

，
∵ω=2，
∴周期T=

2π

2

=π；
（2）∵f（

α

2

+

π

8

）=

2

sin[2（

α

2

+

π

8

）+

π

4

]=

2

sin（α+

π

2

）=

2

cosα=

5

2

，
∴cosα=

10

4

，
又α∈[0，

π

2

]，∴sinα=

1-cos2α

=

6

4

，
∵f（

β

2

+π）=

2

sin[2（

β

2

+π）+

π

4

]=

2

sin（β+

π

4

+2π）=

2

sin（β+

π

4

）=

2

，
∴sin（β+

π

4

）=1，
∵β∈[0，

π

2

]，∴β+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴β+

π

4

=

π

2

，即β=

π

4

，
则sin（α+β）=sin（α+

π

4

）=sinαcos

π

4

+cosαsin

π

4

=

3 + 5

4

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．