Question

（文科）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点 F₁作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF₁的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．y=±
B．y=±
C．y=±
D．y=±2

Answer 1

【答案】分析：由于线段PF₁的中点M落在y轴上，连接MF₂，则|MF₁|=|MF₂|=|PM|=|PF₁|⇒△PF₁F₂为直角三角形，△PMF₂为等边三角形，于是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a⇒c=a，由c²=a²+b²可求得b=a，于是 双曲线的渐近线方程可求．
解答：解：连接MF₂，由过点 PF₁作倾斜角为30°，线段PF₁的中点M落在y轴上得：|MF₁|=|MF₂|═|PM|=|PF₁|，
∴△PMF₂为等边三角形，△PF₁F₂为直角三角形，
∵是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a
∴c=a，又c²=a²+b²，
∴3a²=a²+b²，
∴b=a，
∴双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±=±x．   
故选 C．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，关键是对双曲线定义的灵活应用及对三角形△PMF₂为等边三角形，△PF₁F₂为直角三角形的分析与应用，属于难题．