Question

等比数列{a_n}的公比为q，前n项的积为T_n，并且满足a₁＞1，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀-1＞0，（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0，给出下列结论①0＜q＜1；②a₂₀₀₉•a₂₀₁₁＜1；③T₂₀₁₀是T_n中最大的；④使得T_n＞1成立的最大的自然数是4018．其中正确结论的序号为 ______．（将你认为正确的全部填上）

Answer 1

∵（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0
∴a₂₀₀₉＜1或a₂₀₁₀＜1
如果a₂₀₀₉＜1，那么a₂₀₁₀＞1
如果a₂₀₀₉＜0，那么q＜0
又a₂₀₁₀=a₁q²⁰⁰⁹，所以a₂₀₁₀应与a₁异号，即a₂₀₁₀＜0
和前面a₂₀₁₀＞1的假设矛盾了
∴q＞0
又或者a₂₀₀₉＜1，a₂₀₁₀＞1，
那么a₂₀₀₉=a₁q²⁰⁰⁸应该大于1
又矛盾了．因此q＜1
综上所述 0＜q＜1，故①正确
a₂₀₀₉•a₂₀₁₁=a²₂₀₁₀＜1故②正确．，
由结论（1）可知数列从2010项开始小于1
∴T₂₀₀₉为最大项③不正确．
由结论1可知数列由2010项开始小于1，
T_n=a₁a₂a₃…a_n
∵数列从第2010项开始小于1，
∴当T_n=（a²⁰⁰⁹）²时，T_n＞1成立的最大的自然数
求得n=4018，故④正确．
故答案为：①②④