Question

11．甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为$\frac{1}{3}$，且第一次由甲开始射击．
①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率$\frac{2}{27}$；
②求第4次由甲射击的概率$\frac{13}{27}$．

Answer 1

分析 ①由题意可得第一次射击，甲击中目标，第二次也击中目标，但第三次没有击中目标，根据相互独立事件的概率乘法公式，计算求的结果．
②分4种情况讨论，求得第4次由甲射击的概率．

解答 解：①由题意，前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{27}$．
②第4次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；第一次甲射击击中，但第二次没有击中，第三次由乙射击没有击中；
第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第三次没有击中；
第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次没有击中，第三次甲射击击中；
故这件事的概率为${（\frac{1}{3}）}^{3}$+$\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$$•\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}$=$\frac{13}{27}$，
故答案为：$\frac{2}{27}$；$\frac{13}{27}$．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．