Question

为迎接山东省第23届运动会在济宁召开，济宁市加快了城市建设改造的步伐．在太白路升级改造工程中，欲在京杭大运河上新建一座跨河大桥，最两端的两桥墩相距m米．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为工米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为（2+x）x万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记工程的总费用为：y万元．
（I ）试写出y关于工的函数关系式；
（II）当m=320米时，需建多少个桥墩才能使得工程总费用y最小，最小费用为多少万元？

Answer 1

分析：（I）设出建n个桥墩，则求出桥墩数与相邻两桥墩之间距离x的关系，所有桥墩的工程费为256n，桥面工程费用
为（n-1）（2+x）x；两项费用加起来为工程的总费用y
（II）将m的值代入y的解析式，化简解析式；利用基本不等式求出最小值，检验等号何时取得．

解答：解：（I）设需建n个桥墩，则（n-1）x=m即n=

m

x

+1
所以y=f（x）=256n+（n-1）（2+x）x
=256(

m

x

+1)+

m

x

(2+x)x
=

256m

x

+mx+2m+256(0＜x＜m)
（II）由（I）知，y=m(

256

x

+x)+2m+256
≥32m+2m+256
=34m+256
=34×320+256=11136
当且仅当

256

x

=x即x=16时取等号，
所以f（x）在x=16时取得最小值．此时，n=

m

x

+1=

320

16

+1=21
故需要建21个桥墩才能使工程费用最小，最小费用为11136万元．

点评：本题考查将实际问题转化为数学问题的能力、考查利用基本不等式求函数的最值要注意满足的条件：一正、二定、
三相等．