Question

已知椭圆C的焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），焦点到短轴端点的距离为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P是椭圆C上的一点，且在第一象限．若△PF₁F₂为直角三角形，试判断直线PF₁与圆O：x²+y²=的位置关系．

Answer 1

解：（1）由题意可得a=2，c=5，
∴b²=a²-c²=15．
∴椭圆C的方程为+=1．
（2）圆O：x²+y²=的圆心为原点，半径r=．
①当∠PF₂F₁为直角时，点P的坐标为（5，）．
直线PF₁的方程为y=（x+5）．此时圆心到直线PF₁的距离为＜．
∴直线PF₁与圆O：x²+y²=相交．
②当∠F₁PF₂为直角时，设点P的坐标为（x，y）．联立解得
∵点P的坐标为（4，3）．
则点P到椭圆右焦点（5，0）的距离为．
利用三角形的中位线定理可得圆心O到直线PF₁的距离为．
所以直线PF₁与圆O：x²+y²=相切．
分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）①当∠PF₂F₁为直角时，求得直线PF₁的方程，利用点到直线的距离公式即可判断出；
②当∠F₁PF₂为直角时，联立解出点P的坐标即可得到圆心到直线PF₁的距离，即可判断出结论．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、分类讨论的思想方法、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立求得交点坐标是解题的关键．