Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BD；
（Ⅱ）证明：CC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥BD． 又AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°，△ABD 中，
由余弦定理得 BD²=AD²+AB²-2AB•ADcos60°=3AD²，∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，又 AD∩DD₁=D，∴BD⊥面ADD₁A₁．
由 AA₁?面ADD₁A₁，∴BD⊥AA₁．
（Ⅱ）证明：连接AC 和A₁C₁，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A₁B₁，可得 EC∥A₁C₁，且 EC=A₁C₁，
故ECC₁ A₁ 为平行四边形，∴CC₁∥A₁ E，而A₁ E?平面A₁BD，∴CC₁∥平面A₁BD．
分析：（Ⅰ） 由D₁D⊥平面ABCD，可证 D₁D⊥BD．△ABD 中，由余弦定理得 BD²，勾股定理可得 AD⊥BD，由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD₁A₁，再由线面垂直的性质定理可证 BD⊥AA₁．
（Ⅱ）连接AC和A₁C₁，设AC∩BD=E，先证明四边形ECC₁A₁为平行四边形，可得CC₁∥A₁E，再由线面平行的判定定理可证CC₁∥平面A₁BD．
点评：本题考查余弦定理、勾股定理、线面平行的判定定理、线面平行的性质定理的应用，体现了数形结合的数学思想．