Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₂•a₄=a₆，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项积为T_n，求所有的正整数k，使得对任意的n∈N^*，不等式S_n+K+恒成立．

Answer 1

解：（Ⅰ） 设等比数列{a_n}的首项为a₁＞0，公比为q＞0，
∵a₂•a₄=a₆，，
∴，
解得，
∴．
（Ⅱ）∵，
∴==，
=，
若存在正整数k，使得不等式对任意的n∈N^*都成立，
则+＜1，即，
∵只有当n=1时，取得最小值2，满足题意．
∴k＜2，正整数k只有取k=1．
分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式及已知条件即可得出；
（Ⅱ）利用等比数列、等差数列的前n项和公式、指数幂的运算性质、二次函数的单调性即可得出．
点评：本题主要考查等比数列的通项公式及等差、等比数列的求和公式、不等式及其恒成立问题等基础知识，同时考查运算求解能力．