Question

设椭圆=1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P、Q两点，且P分向量所成的比为8：5．

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+y+3=0相切，求椭圆方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)设点Q(x₀，0)，F(-c，0)，

其中c=，A(0，b)．

由P分所成的比为8：5，得P(x₀, b)，

∴()²a．    ①

而=(c，b)，=(x₀，-b)，⊥，

∴·=0，∴cx₀-b²=0，x₀=．   ②

由①②知2b²=3ac，∴2c²+3ac-2a²=0．

∴2e²+3e-2=0，∴e=．

(Ⅱ)满足条件的圆心为O′(，0)，

=c，∴O′(c，0)

圆半径r==a.

由圆与直线l：

x+y+3=0相切得，=a,

又a=2c，∴c=1，a=2，b=．

∴椭圆方程为=1．